REVISTA
JUVENTUD Y CIENCIA SOLIDARIA:
En el camino de la investigación
Uso de las derivadas en la vida diaria
Sofía Alejandra Vásquez Astudillo
Sofía Alejandra Vásquez Astudillo
,
tengo 18 años. Estudio en el 3.
º
BGU de
la Unidad Educativa Particular Salesiana
María Auxiliadora. Me gusta escribir,
leer, escuchar música, mirar películas o
documentales de crímenes y misterios. En
la universidad quiero estudiar la carrera de
Comunicación.
Resumen
Con el paso del tiempo aprendemos operaciones, tér-
minos matemáticos, y todo lo que tiene que ver con
el mundo de los números de una manera muy sencilla.
Cuando avanzamos a cursos o grados mayores apren-
demos más en función de lo ya conocido y exploramos
más términos de las matemáticas, hasta que en algún
momento hay cosas nuevas y según nosotros comple-
jas que pensamos nunca haber conocido, aprendido o
puesto en práctica. Luego de conocer cada tema, incon-
scientemente lo aplicamos en nuestra vida cotidiana,
pensando que estamos haciendo algo completamente
ordinario, sin complejidad y sin sentido. Sencillamente,
uno no necesita aplicar todo el proceso matemático
fuera de la escuela, sino que lo aplicamos de otra forma
sin hacer un proceso complejo, sin muchos cálculos
matemáticos. El objetivo de este artículo investigativo
es dar a conocer las diferentes aplicaciones que tiene el
cálculo diferencial, como en la medicina, física, razones
de cambio y optimización de productos. Por consigu-
iente, las derivadas ayudan en cualquier momento de
la vida o en cualquier campo de trabajo, siendo así una
buena ayuda para el desarrollo de esta, comprendiendo
todo lo que conlleva este término matemático.
Palabras clave:
cálculo diferencial, derivada, física,
medicina, optimización, razones de cambio
30
En el camino de la investigación 31
Explicación del tema
Historia de la derivada
Ideas abordadas por Johannes Kepler, René Descartes,
Pierre de Fermat y Galileo Galilei, fueron de ayuda
para que posteriormente, en los siglos XVII y XVIII,
Isaac Newton y Gottfried Leibniz las sistematizaran y
generalizaran para la construcción de los principios del
cálculo diferencial [1]. Cada uno de ellos empezó apor-
tando algo al mundo de las matemáticas, agilizando
el paso a los demás creadores al poder modificar el
trabajo, fórmulas o estudios que ya estaban compro-
bados.
Las derivadas, las integrales y sus reglas fueron
sintetizadas a finales del siglo XVII. Newton en 1665
desarrolló su propio método para calcular la tangente,
de esta manera, encontrando un algoritmo para poder
derivar funciones algebraicas que coincidan con lo es-
tudiado por Fermat. Al final de este mismo año se
dedicó a reestructurar las bases del cálculo diferencial.
Por otro lado, en 1675 Leibniz comienza a desarrol-
lar el cálculo diferencial, publicando así los mismos
resultados que diez años antes fueron descubiertos por
Newton, puesto que en su investigación decide conser-
var el carácter geométrico y además trata a la derivada
como un cociente incremental. [2]
De esta manera, es como dos grandes de las
matemáticas en diferentes épocas nos dan lo que hoy
conocemos de manera más fácil y con toda la informa-
ción a nuestro alcance, logrando así que derivar sea
algo un poco más simple.
Figura 1. Creadores del cálculo diferencial.
Fuente: shorturl.at/uQ156
¿Qué es derivar?
«La derivada de una función puede interpretarse geo-
métricamente como la pendiente de una curva, y físi-
camente como una razón “instantánea” de cambio» [3].
Al momento de derivar podemos encontrar la segunda
ecuación de la ya existente, pero nosotros podemos
seguir derivando sin un límite máximo, de esta manera,
el resultado nos pueda dar 0.
Como en todas las matemáticas existen o hay re-
glas que seguir para no realizar las operaciones sin
equivocaciones, y las derivadas no son la excepción, es-
tas también tienen reglas que seguir en todo momento
del proceso. Para calcular la derivada podemos usar
la tan conocida «Derivada por definición», en donde
usamos límites como se aprecia en la Ecuación (1).
f
0
(a) = lim
n→0
f(a + h) − f(a)
h
(1)
Si no se desea usar los límites para desarrollarlas,
debemos conocer las reglas de la derivada para tener
otras opciones de resolución.
Importancia de las derivadas
Como en todas las matemáticas y sus explicaciones,
cada una tiene una importancia que cumplir dentro de
su materia, de esta manera, comprendiendo de mejor
manera el porqué es relevante para las personas, así es
como las derivadas también tienen importancia dentro
del dominio matemático.
Las derivadas aportan información concreta a los
expertos y estudiantes, puesto que se pueden inter-
pretar de diferentes maneras y tiene la capacidad de
ofrecer más información acerca de nuestra propia exis-
tencia. Podemos aplicarlas en cosas habituales como
el vuelo de un avión, el movimiento de un coche, la
construcción de un edificio o de otras cosas más que
para nosotros pueden ser normales, pero que sin el uso
de las derivadas no serían posibles. [4]
Aplicaciones de la derivada en la vida diaria
Luego de conocer todo esto sobre las derivadas, su
historia, y saber cómo ponerlas en práctica como una
operación matemática, debemos saber que esto mismo
podemos realizarlo en el día a día. Estas serán una base
para poder desarrollar otras cosas con su uso, como
32 Juventud y Ciencia Solidaria
lo son en problemas de física, economía, medicina,
química, etc.
Aplicación en la física
La física tiene varias aplicaciones importantes en la
matemática, y una de ellas es la derivada, a la cual se
le suele llamar diferenciación, pues este término se lo
suele emplear dentro de estudios más amplios. Cono-
ciendo que la derivada expresa el cambio instantáneo
que va a experimentar una variable con respecto a otra,
dentro de la física el uso de la derivada es muy práctico
y útil al momento de que empleamos la velocidad de
cualquier cuerpo en relación o con respecto al tiempo
empleado. [5]
«Si
s
=
f
(
t
) es la función de posición de una
partícula que se moverá en línea recta, entonces esta
representará el promedio de la velocidad en un periodo
t, y representa la velocidad instantánea o la razón
de cambio del desplazamiento con respecto al tiempo.
La razón del cambio instantáneo de la velocidad con
respecto al tiempo es la aceleración: Pero así conoce-
mos fórmulas para resolver con facilidad usando las
derivadas». [6]
Fórmulas de la derivada para aplicarlas en la
Física.
La función original será el espacio, expresado por:
s = f (t) (2)
La función de la velocidad será la primera derivada
del espacio, expresada por:
v = s
0
=
ds
dt
(3)
La función de la aceleración será la segunda
derivada del espacio, expresada por:
a = s
00
=
dv
dt
=
d
2
s
dt
(4)
Figura 2. Gráficas de la función del espacio (gris), velocidad (celeste) y aceleración (rosa), con respecto al tiempo
Fuente: Autora
Aplicación en la optimización
La optimización de funciones es el resultado de los
máximos y mínimos relativos de una función sometido
a varias restricciones, por ejemplo, podremos calcu-
lar con precisión cuáles serían las medidas mínimas
que necesita una lata de refresco para que contenga
un cierto volumen. Pues, son numerosos los proble-
mas que surgen de las empresas para la fabricación
de un producto en una cierta cantidad de unidades y
conseguir el máximo beneficio de este. Una vez que
tengamos la función a optimizar o también conocida
como función objetiva, obtendremos los extremos rel-
ativos mediante la derivada de la función y también
realizando una igualación a cero, y posterior a esto
En el camino de la investigación 33
nos dará una ecuación a resolver y sus soluciones serán
las posibles respuestas que logren satisfacer a dicho
problema. [7]
Pues, esta aplicación de la derivada se la conoce
como máximos, mínimos y concavidad, así el tema es
mucho más fácil de manejarlo y comprenderlo. A conti-
nuación, un ejercicio de la aplicación de la derivada en
la optimización: Se necesita construir una caja sin tapa
con una lámina rectangular de largo 24 cm y ancho 12
cm. Determine:
a)
¿Cuál es la medida del lado del cuadrado que debe
cortarse en cada esquina para maximizar el volumen
de la caja?
b) ¿Cuál es el valor de dicho volumen máximo?
Figura 3. Lamina original y caja sin tapa del ejemplo
Fuente: Autora
Posterior a la realización de la imagen lo que debe-
mos hacer es encontrar la función objetivo que nos
ayudara en todo el problema, para esta debemos mul-
tiplicar todos los lados de la caja armada sin tapa.
V = (24 − 2x)(12 − 2x)(x)
V = 4x
3
− 72x
2
+ 288x
Luego de esto, lo que haremos es usar las derivadas
para poder sacar dos ecuaciones más y obtener los máx-
imos, mínimos y los puntos de inflexión, al momento
de tener esto podremos obtener la medida de x, que es
2,54 cm. Podremos obtener el volumen máximo de esta
caja sin tapa, reemplazando ese valor en la función
objetivo; así el resultado final que será de 332,55
cm
3
.
Aplicación en razones de cambio en llenado de
tanque
Las razones de cambio las podemos encontrar en la
cotidianidad, en cualquier campo que desempeña el ser
humano, estos pueden ser económicos, sociales, cien-
tíficos, entre otros. En estas situaciones siempre nos
interesará conocer, cuál es el valor mínimo, el valor
máximo, cuándo y cómo crece o cuándo y cómo dis-
minuye, pero este valor siempre se debe determinar en
un tiempo específico. [8]
«A un problema en que intervengan razones de
cambio, respecto al tiempo, de variables relacionadas,
se le llama problema de rapideces de variación rela-
cionadas, las variables tienen una relación específica
para valores de t. Esta relación suele expresarse en
forma de una ecuación, con frecuencia, los valores de
las variables y sus velocidades de cambio con respecto a
t se expresan en un instante dado ya que ellas cambian
a cada momento». [9]
Figura 4. Simulador la derivada como razón de cambio
Fuente: shorturl.at/tCGU1
Tomando en cuenta una razón de cambio con re-
specto al llenado de combustible o de tanque, tenemos
el siguiente ejemplo:
34 Juventud y Ciencia Solidaria
El tanque de combustible de un vehículo de compe-
tencia fabricado de fibra de vidrio tiene una forma de
paralelepípedo de medidas en centímetros: base 80
×
40; altura 45. Se vierte combustible desde un surtidor
con un caudal de 8000 cm3/min. Determinar:
a. La rapidez a la cual el nivel del combustible sube.
b. ¿En qué tiempo se llenará el tanque?
Figura 5. Tanque de combustible del ejemplo
Fuente: shorturl.at/cszDK
Para resolver el problema debemos seguir los si-
guientes pasos:
Como podemos darnos cuenta el problema está
en llenar el volumen contenido dentro del tanque de
combustible, al ser una figura homogénea no presenta
mayor complicación; para ello debemos crear la función
del volumen del tanque y saber que mientras se llena el
tanque las medidas de la base se mantienen constantes
mientras que lo que va variando es la altura de llenado
del tanque. El volumen de llenado y la altura dependen
del tiempo que vaya transcurriendo, la función queda
definida de la siguiente manera:
V(t) = (80cm )(40cm)h(t)
Si derivamos esta expresión con respecto al tiempo
tenemos:
dh
dt
=
dv
dt
3200cm
2
Reemplazando el dato del caudal que representa la
rapidez de cambio del volumen con respecto al tiempo
tenemos:
dh
dt
=
8000
cm
3
min
3200cm
2
dh
dt
= 2, 5
cm
min
Lo que significa que por cada minuto que pasa
la altura sube 2,5 cm; esto para cualquier instante
de tiempo debido a que el tanque tiene una forma
homogénea.
b. Para determinar en qué tiempo se llenará el
tanque, con el dato encontrado en el punto anterior
y el valor de la altura del tanque podemos encontrar
el tiempo de llenado. La altura del tanque es 45 cm,
mientras que la rapidez a la cual sube el nivel de
combustible es de 2,5 cm/min eso significa que si di-
vidimos 45 para 2,5 nos va a dar el tiempo de llenado
del tanque y se puede comprobar que las unidades si
son correspondientes.
tiempo de llenado =
45 cm
2, 5
cm
min
tiempo de llenado = 18min
Aplicación en la medicina
Muchos estudios han dado a entender que la derivada
se usa más para realizar con respecto a la variabilidad
de la presión arterial, y esto se usa para tener una
visibilidad de cómo es el comportamiento de las ondas
dentro de la presión arterial de las personas [5]. Así es
como las derivadas hacen un poco más fácil los estu-
dios que se realizan, la medicina también usa mucho
los máximos y mínimos.
A continuación, realizaremos un ejercicio de la apli-
cación de la derivada en la medicina:
Si quiere estudiar la velocidad de reacción de dos
fármacos. Sea
C
g r
dl
la concentración del fármaco en
sangre y t (en horas) el tiempo transcurrido después de
ser inyectado por vía intravenosa. Se dan las siguientes
reacciones:
• Para el fármaco 1: C
1
= t − 3t
3
• Para el fármaco 2: C
2
= 48t − t
3
Se desea saber, ¿cuál de los dos fármacos alcanza
su máxima concentración en menor tiempo?
Para eso se deben primero buscar los puntos críti-
cos de cada función y derivar cada una e igualarlas a
cero.
En el camino de la investigación 35
C
1
= t − 3t
3
d(C
1
)
dt
= 1 − 9t
2
0 = 1 − 9t
2
9t
2
= 1
t =
r
1
9
t
1
=
1
3
t
2
= −
1
3
El tiempo no puede ser negativo, así que esta res-
puesta no satisface a la ecuación.
C
2
= 48t − t
3
d(C
2
)
dt
= 48 − 3t
2
0 = 48 − 3t
2
3t
2
= 48
t =
r
48
3
t
1
= 4
t
2
= −4
El tiempo no puede ser negativo, así que esta res-
puesta no satisface a la ecuación.
Teniendo ya los puntos críticos de cada fármaco
verificamos que estos sean los puntos máximos para
cada función, para esto debemos reemplazar el punto
crítico, en la segunda derivada.
d
2
(C
1
)
dt
2
= −18t
d
2
(C
1
)
dt
2
= −18
1
3
d
2
(C
1
)
dt
2
= −6
Como la segunda derivada resulta ser de signo neg-
ativo, podemos concluir que el punto crítico es un
máximo.
d
2
(C
2
)
dt
2
= −6t
d
2
(C
2
)
dt
2
= −6 (4)
d
2
(C
2
)
dt
2
= −24
Como la segunda derivada resulta ser de signo neg-
ativo, de la misma forma, podemos concluir que el
punto crítico es un máximo.
Figura 6. Grafica del ejemplo propuesto.
Fuente: Autora
El resultado del problema desarrollado, podemos
decir que el fármaco 1 llega más rápido a su máxima
concentración tardando
1
3
h
, en cambio, el fármaco 2
tarda 4 h en llegar a su máxima concentración. [10]
Dentro de la medicina eso es diferente puesto que
los médicos emplean los máximos y mínimos cuándo se
va a aplicar un medicamento y desean saber cuál será
la concentración máxima de dicho medicamento en el
cuerpo del paciente. Además, esta también se suele
utilizar para conocer la máxima y la mínima intensi-
dad del ritmo cardíaco de una persona cuando está
realizando cualquier tipo de ejercicio físico, especial-
mente es usado en aquellos que sufren enfermedades
cardíacas ya que tomando en cuenta los resultados que
arroje, se puede prescribir la cantidad de ejercicios que
deben realizar diariamente. [11]
Conclusiones
A través de este trabajo investigativo se llegó a la
conclusión, de que la derivada puede formar parte de
36 Juventud y Ciencia Solidaria
nuestro día a día de una manera extraordinaria. Así
es como nos damos cuenta que es muy importante
comprender y saber derivar fórmulas, ya que su apli-
cación será aprovechada dentro de cualquier campo de
trabajo o para la ciencia en general.
Las aplicaciones de estas mismas son muy variadas,
principalmente porque en el cálculo diferencial es apli-
cado en la física moderna, en cambios de temperatura
de los cuerpos como la ley de enfriamiento de Newton,
entre otros. Combinar la física y la derivada ahorran el
uso de varias fórmulas, además de obtener de manera
más sencilla y rápida los resultados, comprendiendo
todo de una mejor manera. Por otro lado, en la op-
timización, se pudo concluir que esto puede ayudar
mucho en la fabricación de productos, ya que esta
ayuda a tener mejores resultados y sacar el máximo
beneficio de los productos.
Por último, el uso de la derivada en la medicina,
nos permite deducir que esta operación matemática
no solo la usaremos en campos como la ingeniería o
únicamente técnicos, sino que también dentro de la
ciencia la podemos ocupar de una manera muy in-
teresante, ya que se puede ligar o unificar estos dos
temas en uno solo. El conocer de matemáticas dentro
de nuestra educación nos ayuda a querer saber más a
explorar por el mundo de los números, así hacer las
cosas por inercia propia como desglosar o como en este
caso como derivar términos.
«Los encantos de esta ciencia sublime, las
matemáticas, solo se le revelan a aquellas que tienen
el valor de profundizar en ella». Carl Friedrich Gauss
Bibliografía
[1] Lozano, Y. (Julio de 2011). Desarrollo del concepto
de la derivada sin la noción del límite. Fundación
Universitaria Konrad Lorenz-Facultad de
Matemáticas e Ingenierías. Recuperado de short-
url.at/huBNX
[2] Linares, D. (17 julio del 2011). Historia de la
derivada. Blogger. Recuperado de short-
url.at/epMP3
[3] Pérez, J. (s. f.). Derivadas. Cálculo diferencial e
integral. Recuperado shorturl.at/ginyI
[4] Derivadas. (28 de marzo de 2014). Importancia.
Recuperado de shorturl.at/psuOY
[5] Mendoza, N. (23 junio de 2014). Aplicación de las
derivadas en la vida cotidiana. Issuu. Recuperado
de shorturl.at/itIY7
[6] Stewart, J. (2008). Cálculo de una variable: Trascen-
dentes tempranas. CENGACE Leraning.
[7] Galdón, J. (19 de febrero de 2021). Optimización
Matemática: Una aplicación derivada de una fun-
ción. Tus clases particulares. Recuperado de short-
url.at/iuPY8
[8] Ruiz, M. (2012). Razón de cambio. Universidad Na-
cional Río Negro. Recuperado de short-
url.at/hEWY6
[9] Martínez, M. y Portilla, R. (2017). Cálculo Dife-
rencial con Geometría Analítica para Ingeniería
Automotriz. Universidad Politécnica Salesiana. Re-
cuperado de shorturl.at/dfsDQ
[10] Abierta, M. (08 de agosto de 2016). Derivada (Apli-
cación #13). Blog Educativo. Recuperado de short-
url.at/djEJV
